Question

6．解方程：2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0．

Answer 1

分析 由题意可知x≠0，故可将方程的两边同时除以x²，化高次方程为低次方程；根据所得方程的结构特点，运用十字相乘法将方程的左边因式分解即可解决问题．

解答 解：∵2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0，且x≠0，
∴方程两边同除以x²得：2x²-9x+14-$\frac{9}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=0，
故2（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-9（x+$\frac{1}{x}$）+14=0，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，
∴2（x+$\frac{1}{x}$）²-9（x+$\frac{1}{x}$）+10=0，
∴[2（x+$\frac{1}{x}$）-5][（x+$\frac{1}{x}$）-2]=0，
∴2（x+$\frac{1}{x}$）-5=0①或x+$\frac{1}{x}$-2=0②；
将方程①变形整理得：2x²-5x+2=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或2；
将方程②变形整理得：x²-2x+1=0，解得：x=1，
∴方程2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0的解为x=$\frac{1}{2}$或2或1．

点评 此题考查了特殊高次方程的求解问题；解决该类问题的一般思路是：将低次数，化高次方程为低次方程；灵活运用解决一般方程的思路、方法来求解．