Question

14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，求BD•cos∠HBD的值．

Answer 1

分析 由DH与AB平行，得到一对内错角相等，再由一对内错角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形DHC相似，由相似得比例求出CH的长，由BC+CH求出BH的长，在直角三角形BHD中，利用锐角三角函数定义求出所求式子的值即可．

解答 解：∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠DCH，
∴△ABC∽△DHC，
∵AC=3CD，即$\frac{AC}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{HC}$=$\frac{1}{3}$，
又BC=3，
∴CH=1，
∴BH=BC+CH=3+1=4，
在Rt△BHD中，cos∠HBD=$\frac{BH}{BD}$，
∴BDcos∠HBD=BH=4．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．