Question

9．直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点B（-1，0）的直线交线段OC于点D，交线段AC于点E，连接BC，△CDB的面积为1．
（1）求点E的坐标；
（2）求四边形AODE的面积；
（3）点P是线段AC上一点，点Q为平面上一点，当四边形DPQE为矩形时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于已知直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与C坐标，得出OA与OC的长，由B的坐标确定出OB的长，三角形CBD面积等于底边CD与高OB乘积的一半，求出CD的长，由OC-CD求出OD的长，确定出D坐标，设直线BE解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，与已知直线联立求出E的坐标即可；
（2）四边形AODE面积等于三角形AOC面积减去三角形CDE面积，求出即可；
（3）如图所示，若四边形DPQE为矩形，则有DP与DE垂直，根据直线DE，求出直线DP解析式，与已知直线联立求出P坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=3，
∴C（0，4），A（3，0），即OC=4，OA=3，
∵BO=1，△CBD面积为1，
∴$\frac{1}{2}$CD•BO=1，即CD=2，
∴OD=OC-CD=4-2=2，即D（0，2），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，即直线BD解析式为y=2x+2，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0.6}\\{y=3.2}\end{array}\right.$，即E（0.6，3.2）；
（2）S_{四边形AODE}=S_△COA-S_△CDE=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×2×0.6=6-0.6=5.4；
（3）如图所示：

当四边形DPQE为矩形时，DP⊥DE，
∵直线DE解析式为y=2x+2，D坐标为（0，2），
∴直线DP解析式为y-2=-$\frac{1}{2}$x，即y=-$\frac{1}{2}$x+2，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2.4}\\{y=0.8}\end{array}\right.$，
则P（2.4，0.8）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两直线交点坐标的求法，两直线垂直时斜率的乘积为-1，以及矩形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．