Question

4．已知关于x的方程为：$\frac{1}{|x-2|}$=$\frac{1}{|x-52a|}$．
（1）解这个方程；
（2）若a是一个奇质数的平方，证明这个方程的解是合数．

Answer 1

分析 （1）直接利用完全平方的性质结合平方差公式解方程求出即可；
（2）利用当p=3时，得出26a+1是合数，再利用当p＞3时，得出26a+1一定是3的倍数，进而得出也是合数的结论．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{|x-2|}$=$\frac{1}{|x-52a|}$，
∴|x-2|=|x-52a|，
∴（x-2）²=（x-52a）²，
整理得：（104a-4）x=2704a²-4，
故（26a-1）x=676a²-1，
解得：x=26a+1；

（2）当p=3时，
26a+1=235 显然是合数，
当p＞3时，p²-1=（p+1）（p-1），
因为p是大于3的质数，p一定不是3的倍数，并且p是奇数，
p+1，p-1是两个连续的偶数，必定是8的倍数，
p不是3的倍数，p+1，p-1必定有一个是3的倍数，
所以p²-1是24的倍数，
26a+1=26×（24n+1）+1
=26×24n+27（n是一个整数）
=3（8×26n+9），
故26a+1一定是3的倍数．
故综上所述：这个方程的解是合数．

点评 此题主要考查了解方程以及质数与合数，根据合数的性质得出当p＞3时26a+1一定是3的倍数是解题关键．