Question

1．如图，已知△ABC，AM是中线，点P在边AB上，点Q在边AC上，PQ交AM于点N．
（1）求证：$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$；
（2）若$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，求$\frac{MN}{NA}$的值．

Answer 1

分析 （1）分别过点B，C作PQ的平行线，交AM的延长线于D，E则△BDM≌△CEM，利用PQ∥BD，得到比例式，即可证得结论；
（2）利用（1）的结论即可求得$\frac{MN}{NA}$的值．

解答 （1）证明：分别过点B，C作PQ的平行线，交AM于D，E，
∴∠BDE=∠CED，
在△BDM与△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CEM}\\{∠BMD=∠EMC}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CME，
∴DM=EM，
∵PQ∥BD，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{ND}{AN}$，
同理：$\frac{QC}{QA}=\frac{NE}{AN}$，
∴$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$；

（2）解：由（1）证得$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$；
∵$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{2MN}{AN}$=$\frac{m+n}{mn}$，
∴$\frac{MN}{NA}$=$\frac{m+n}{2mn}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．