Question

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于E、D，连接CE、CD．
（1）求证：直线AB是圆O的切线；
（2）证明：∠BCD=∠E；
（3）证明：BC²=BD•BE．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，根据OA=OB，CA=CB，可以证明OC⊥AB，利用切线的判定定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得到AB是⊙O的切线；
（2）根据ED是直径，得到∠ECD=90°，从而得到∠E+∠EDC=90°，然后根据∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，得到∠BCD=∠E即可；
（3）根据前面题目的条件和∠CBD=∠EBC，证得△BCD∽△BEC，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．

解答：解：（1）证明：如图，连接OC． 
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是圆O的切线；

（2）∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E；

（3）由（2），又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；

点评：本题考查切线的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．