Question

点P（m，n）是反比例函数y=

6

x

（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y=2x上的一点． 
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标； 
（2）在点P运动过程中，连结AB，△PAB的面积是否变化？若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由； 
（3）在点P运动过程中，以点P、A、C、B为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出此时的m值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征来求P、A、B三点的坐标； 
（2）根据三角形的面积公式求得△PAB的面积=

3

4

，为定值；
（3）根据图示，四边形PBCA为平行四边形．根据“平行四边形的对边相互平行的性质”可以求得m的值．

解答：解：（1）∵点P（m，n）是反比例函数y=

6

x

（x＞0）图象上的动点，
∴n=

6

m

，
∴P（m，

6

m

）．
∵PA∥x轴，
∴点A、P的纵坐标相同，故将A点纵坐标y=

6

m

代入y=

3

x

（x＞0），得
x=

m

2

，
∴A（

m

2

，

6

m

）．
同理可得B（m，

3

m

）；

（2）由（1）知，P（m，

6

m

），A（

m

2

，

6

m

），B（m，

3

m

）．
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴PA=m-

m

2

=

m

2

，PB=|

6

m

-

3

m

|=

3

m

，
∴△PAB的面积=

1

2

×PA×PB=

1

2

×

m

2

×

3

m

=

3

4

；

（3）若PBAC为平行四边形，则有AC∥PB∥y轴，AP∥BC∥y轴．则
点C（

m

2

，

3

m

），
代入y=2x，得

3

m

=2×

m

2

，
解得，m=

3

或m=-

3

（舍去）．
当PA∥AB，PA=AB时，可得m=3或1．
综上：m=

3

，3或1时，PBCA为平行四边形．

点评：本题综合考查了三角形的面积公式，平行四边形的判定与性质以及反比例函数综合题．解答（3）题时，根据图形可以判定四边形PBCA为平行四边形．可见，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．