Question

18．在 Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．结论：①AE+BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AB，②AE²+BF²=EF²，③△DEF恒为等腰直角三角形，④S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．其中正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 连接CD，只要证明△ADE≌△CDF（ASA），即可推出AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．由AC=BC，推出AC-AE=BC-CF，推出CE=BF，由此即可一一判断．

解答 解：连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=CDF．
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，故①正确，
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故③
∵CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²故②正确，
∵S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△EDF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．故④正确．
∴正确的有①②③④．
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是证明△ADE≌△CDF，属于中考常考题型．