题目内容
如图，抛物线
与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线
，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA=2
∴A（﹣2，0）
∵A与B关于直线
对称
∴B（3，0），
由于A、B，两点在抛物线上，
∴
；
解得
；
∴
过D作DE⊥x轴于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即xD=yD，
∴
，
解得x1=2，x2=﹣3（舍去）
∴D（2，2）；
（2）存在
∵BD为定值，
∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小
∵A与B关于直线
对称，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小，
由A（﹣2，0），D（2，2）可得
直线AD：
令，
∴存在点
，使△BPD的周长最小
（3）存在．
（i）当AD为平行四边形AMDN的对角线时，MD∥AN，即MD∥x轴
∴yM=yD，
∴M与D关于直线对称，
∴M（﹣1，2）
（ii）当AD为平行四边形ADNM的边时，
∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM
∴|yM|=|yD|，
即yM=﹣yD=﹣2，
∴令
，即x2﹣x﹣10=0；
解得
，
或
，
综上所述：满足条件的M点有三个M（﹣1，2），或
，﹣2）．
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根的情况是（ ）
，则
____________
B． 
C． 
D． 