Question

7．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P’点坐标为（b，-a）；当a＜b时，P′点坐标为（a，-b）．
（1）求A（5，3），B（1，6），C（-2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线l与x轴交于点D（6，0），与y轴交于点E（0，3）．直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线y=kx-1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；
（2）根据点D、E坐标利用待定系数法找出直线DE的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x轴对称的射线，再将直线DE中点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转90°，由此即可得出图形W；
（3）根据W的做法找出图形W中两段射线的解析式，分别令y=kx-1（k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论．

解答 解：（1）∵5＞3，1＜6，-2＜4，
∴A′（3，-5），B′（1，-6），C′（-2，-4）．
（2）设直线DE的解析式为y=ax+b，
将点D（6，0）、E（0，3）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=6a+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
当x=y时，有x=-$\frac{1}{2}$x+3，解得：x=y=2．
画出图形W，如图所示．
画图的思路，将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x轴对称的射线，再将直线DE点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转90°，由此即可得出图形W．
（3）当x＜2时，y=$\frac{1}{2}$x-3；
当x≥2时，旋转后的图形解析式为-x=-$\frac{1}{2}$y+3，即y=2x-6（x≤2）．
令kx-1=$\frac{1}{2}$x-3，则有x=-$\frac{2}{k-\frac{1}{2}}$＜2（k≠$\frac{1}{2}$），
解得：k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$；
令kx-1=2x-6，则有x=$\frac{-5}{k-2}$≤2（k≠2），
解得：k≤-$\frac{1}{2}$或k＞2．
综上可知：若直线y=kx-1（k≠0）与图形W有两个交点，k的取值范围为k＜-$\frac{1}{2}$或k＞2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）根据点的横、纵坐标间的关系找出其变换点；（2）根据变换点的定义画出图形W；（3）找出图形W中两段射线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决（3）时，可以直接作出图形，利用数形结合法直接得出结论．