Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：△FDB∽△FAD；
（3）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=$\frac{4}{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）利用两角对应相等的两三角形相似进行证明即可．
（3）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=$\frac{32}{5}$，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；

（2）证明：∵EF是⊙O的切线，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠BDF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠BDF，
∵∠BFD=∠DFA，
∴△FDB∽△FAD；

（3）∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{32}{5}$，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{FO}{FA}$，即$\frac{5}{\frac{32}{5}}$=$\frac{BF+5}{BF+10}$，
∴BF=$\frac{90}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．