Question

18．已知关于x的一元二次方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0没有相异实根，且$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有实根，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有实根得△=-a-4-c²≥0，即-a-4≥c²≥0，从而知a≤-4；令t=2^b，由一元二次方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0没有相异实根得△=4a²-4a（t²-8t+12）≤0，即-t²+8t-12+a≥0，则抛物线y=-t²+8t-12+a与横轴必有交点，继而可得a≥-4，综合a≤-4知a=-4，根据-t²+8t-12+a=-（t-4）²≥0知t=4求得b的值，由-a-4≥c²≥0求得c的值．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有实根，
∴△=（-$\sqrt{-a}$）²-4×$\frac{1}{4}$（4+c²）=-a-4-c²≥0，
即-a-4≥c²≥0，
∴a≤-4，
方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0可化为ax²+2ax+（2^b）²-8×2^b+12=0，
设t=2^b，
根据题意，知：△=4a²-4a（t²-8t+12）≤0 ①，
∵a≤-4，
∴①式两边都乘以4a，得：-t²+8t-12+a≥0，
令y=-t²+8t-12+a，
∵抛物线y=-t²+8t-12+a的开口方向向下，
∴△=64-4×（-1）×（-12+a）≥0，
解得：a≥-4，
又∵a≤-4，
∴a=-4，
则-t²+8t-12+a=-t²+8t-16=-（t-4）²≥0，
∴t=4，即2^b=4，
解得：b=2，
∵-a-4=0≥c²，
∴c=0，
综上，a=-4，b=2，c=0．

点评 本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握方程的解与判别式间联系及抛物线与x轴交点与相对应方程间的联系是关键．