Question

如图，在梯形ABCD中，AB=4cm，CD=16cm，BC=6

3

cm，∠C=30°，动点P从点C出发沿CD方向以1cm/s的速度向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AD的长：
（2）当△PDQ的面积为12

3

cm²时，求运动时间t；
（3）当运动时间t为何值时，△PDQ的面积S达到最大，并求出S的最大值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，求出BE、CE的长，过A作AF⊥CD，垂足为F，求出EF、AF，从而求出FD，最后根据在Rt△AFD中，AD=2DF进行计算即可；
（2）过Q作QG⊥CD，垂足为G，先证出△AFD∽△QGD，得出

AF

QG

=

AD

QD

，求出QG=

3

2

t，从而列出方程

1

2

（16-t）•

3

2

t=12

3

，求出t的值，再根据0≤t≤6，即可得出答案；
（3）由（2）可求出S=-

3

4

（t-8）²+16

3

，再根据0≤t≤6，当x＜8时，S随t的增大而增大，即可求出S的最大值．

解答：解：（1）如图过点B作BE⊥CD，垂足为E，
∵∠C=30°，BC=6

3

cm，
∴BE=3

3

cm，CE=9cm，
过A作AF⊥CD，垂足为F，
∴EF=AB=4cm，AF=BE=3

3

cm，
∴FD=16-9-4=3cm，
∴在Rt△AFD中，AD=2DF=6cm；

（2）如图，CP=DQ=t，过Q作QG⊥CD，垂足为G，
∵AF⊥CD，
∴BE∥AF，
∴△AFD∽△QGD，
∴

AF

QG

=

AD

QD

，
∴

3 3

QG

=

6

t

，
∴QG=

3

2

t，
∴

1

2

（16-t）•

3

2

t=12

3

，
∴t=4s或t=12s，
∵0≤t≤6，12＞6，
∴t=12s（舍去），
∴t=4s；

（3）由（2）知S=

1

2

（16-t）•

3

2

t=-

3

4

（t-8）²+16

3

，
由题意知0≤t≤6，
∵当x＜8时，S随t的增大而增大，
∴当t=6时，S_最大值=15

3

cm²．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数，关键是做出辅助线构造相似三角形．