题目内容
已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，且对称轴为直线x=2，列出关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出顶点坐标；
（2）设B（x，-x2+4x）．在直角△AOB中，根据勾股定理得出OA2+AB2=OB2，据此列出方程22+42+（x-2）2+（-x2+4x-4）2=x2+（-x2+4x）2，解方程求出x的值，得到B点坐标为（
，
），再运用待定系数法求出直线OB的解析式为y=
x，将x=2代入，得到y=3，则AP=4-3=1，然后根据时间=路程÷时间即可求出t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，点A的对称点A1恰好落在坐标轴上，可分三种情况进行讨论：①点A1在x轴正半轴上；②点A1在y轴负半轴上；③点A1在x轴负半轴上．
（2）设B（x，-x2+4x）．在直角△AOB中，根据勾股定理得出OA2+AB2=OB2，据此列出方程22+42+（x-2）2+（-x2+4x-4）2=x2+（-x2+4x）2，解方程求出x的值，得到B点坐标为（
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（3）将△PAB沿直线PB折叠后，点A的对称点A1恰好落在坐标轴上，可分三种情况进行讨论：①点A1在x轴正半轴上；②点A1在y轴负半轴上；③点A1在x轴负半轴上．
解答：解：（1）由题意得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点A的坐标为（2，4）；
（2）如图1，设B（x，-x2+4x）．
∵三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，
∴OA2+AB2=OB2，
即22+42+（x-2）2+（-x2+4x-4）2=x2+（-x2+4x）2，
整理，得2x2-9x+10=0，
解得x1=
，x2=2（舍去），
∴B（
，
）．
设直线OB的解析式为y=kx，则
k=
，
解得k=
，
∴y=
x．
当x=2时，y=3，
∴AP=4-3=1，
∴t=1÷1=1（秒）；
（3）分三种情况：
①若点A1在x轴正半轴上，如图2，
可得PD2+A1D2=PA12，
即（4-t）2+（2
-2）2=t2，
解得t=5-
；
②若点A1在y轴负半轴上，如图3，连结AA1交OB于E．
可得OA1=OA=2
，
∴∠OA1A=∠OAA1，
∵OA1∥AP，
∴∠OA1A=∠A1AP，
∴∠OAA1=∠A1AP，
∵AA1⊥OP，
∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE与△PAE中，
，
∴△OAE≌△PAE（ASA），
∴OA=PA=2
，
∴t=2
；
③若点A1在x轴负半轴上，如图4．
可得PD2+A1D2=PA12，
即（t-4）2+（2
+2）2=t2，
解得t=5+
；
综上所述，所有满足条件的t的值为（5-
）秒或2
秒或（5+
）秒．
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解得
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∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点A的坐标为（2，4）；
（2）如图1，设B（x，-x2+4x）．
∵三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，
∴OA2+AB2=OB2，
即22+42+（x-2）2+（-x2+4x-4）2=x2+（-x2+4x）2，
整理，得2x2-9x+10=0，
解得x1=
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∴B（
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设直线OB的解析式为y=kx，则
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解得k=
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∴y=
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当x=2时，y=3，
∴AP=4-3=1，
∴t=1÷1=1（秒）；
（3）分三种情况：①若点A1在x轴正半轴上，如图2，
可得PD2+A1D2=PA12，
即（4-t）2+（2
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解得t=5-
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②若点A1在y轴负半轴上，如图3，连结AA1交OB于E．
可得OA1=OA=2
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∴∠OA1A=∠OAA1，
∵OA1∥AP，
∴∠OA1A=∠A1AP，
∴∠OAA1=∠A1AP，
∵AA1⊥OP，
∴∠OEA=∠PEA=90°．在△OAE与△PAE中，
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∴△OAE≌△PAE（ASA），
∴OA=PA=2
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∴t=2
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③若点A1在x轴负半轴上，如图4．
可得PD2+A1D2=PA12，
即（t-4）2+（2
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解得t=5+
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综上所述，所有满足条件的t的值为（5-
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点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、正比例函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定难度．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
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