Question

如图，每相邻三个点构成的“∵”或“∴”，所形成的三角形都是正三角形，且每一个小正三角形的面积为1，这样的图叫做三角形格点图，这些多边形叫三角形格点多边形．
（1）请求出这些三角形格点多边形的面积；
（2）皮克定理在三角形格点多边形也成立吗？若不成立，试用同样的探究方法找一找三角形格点多边形的面积S与图形内包含的格点数a，图形边界上的格点数b之间存在的数量关系．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类,三角形的面积

专题：

分析：（1）分别计算出各个多边形的面积，通过归纳分析可以发现：多边形的面积等于多边形内部的点数加上1与多边形边界上的点数的乘积然后加上5；
（2）按照（1）中总结的规律，将表示多边形内部的点数a，表示多边形边界上的点数b，表示多边形的面积S代入即可得到答案．

解答：解：（1）因为每一个小正三角形的面积为1，
所以，第一个多边形的面积为7+1×7+5=19；
第二个多边形的面积为8+1×5+5=18；
第三个多边形的面积为7+1×6+5=18；
第四个多边形的面积为8+1×7+5=20．
（2）通过计算，并对上述结果进行归纳总结可以发现：
等号右边的数为多边形的面积，等号左边的第一个数是多边形内部的点数，第二个和第四个数都是常数，
第三个数是多边形边界上的点数．
S=a+1×b+5．

点评：此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律．此类题目难度一般偏大，属于难题．