Question

如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，求证：∠B=45°．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：连结AD，AE．根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD=3，AE=CE=5，在△ADE中，根据勾股定理的逆定理可得△ADE是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．

解答：解：连结AD，AE．
∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，
∴AD=BD=3，AE=CE=5，
在△ADE中，AD²+DE²=9+16=25，AE²=25，
∴AD²+DE²=AE²，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°．

点评：考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．