Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求tan∠PDA的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接OB，OP，由已知比例式得到BC与OP平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等得到两对角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOP=∠AOP，再由OB=OA，OP=OP，利用SAS得到三角形BPO与三角形APO全等，利用全等三角形对应角相等，得到∠OBP=∠OAP=90°，即可得证；
（2）利用切线长定理得到PA=PB，设PA=PB=x，根据已知比例式表示出DP，在直角三角形PAD中，利用勾股定理表示出AD，利用锐角三角函数定义求出tan∠PDA的值即可．

解答：（1）证明：连接OB，OP，
∵

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POA=∠POB，
在△BPO和△APO中，

OB=OA ∠BOP=∠AOP OP=OP

，
∴△BPO≌△APO（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
则直线BP为圆O的切线；

（2）解：∵∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，OA⊥AP，
∴PB=PA，
设PB=PA=x，则有DB=2x，即DP=DB+BP=3x，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得：AD=

PD2-PA2

=2

2

x，
则tan∠PDA=

PA

AD

=

x

2 2 x

=

2

4

．

点评：此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．