Question

17．如图，已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，y₁），（-1，y₂），（1，0），且y₁＜0＜y₂，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③a＜-$\frac{1}{2}$c；④在-2＜x＜-1中存在一个实数x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．由图象可知，-$\frac{b}{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，推出b＞a，故b-a可以是正数，所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，故错误．
③正确．由a＜0，得到b＞a，得到a-b＜0，推出a-b=a-（-a-c）=2a+c＜0，于是得到结论；
④令y=0则ax²+bx-a-b=0，设它的两个根为x₁，1，则x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，求出x₁即可解决问题．

解答 解：由题意二次函数图象如图所示，
∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
∵-$\frac{b}{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴b＞a，
∴b-a＞0，
∵a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，
∴a+3b+2c≤0，故②错误．
∵a＜0，
∴b＞a，
∴a-b＜0，
∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴a-b=a-（-a-c）=2a+c＜0，
∴a+$\frac{1}{2}$c＜0，
∴a＜-$\frac{1}{2}$c；故③正确；
∵y=ax²+bx+c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
令y=0则ax²+bx-a-b=0，设它的两个根为x₁，1，
∵x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，
∴x₁=-$\frac{a+b}{a}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴在-2＜x＜-1中存在一个实数x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，故④正确，
故选D．

点评 本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．