Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动．过点D作DE⊥AB，交折线AC-CB于点E，以DE为一边，在DE左侧作正方形DEFG．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积为y（cm²）．

（1）当x=$\frac{8}{3}$s时，点F在AC上；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设正方形DEFG的中心为点O，直接写出运动过程中，直线BO平分△ABC面积时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当点F在AB上时，易证AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$，由此求出AD的长即可解决问题；
（2）分三种情形讨论：①如图2中，当0＜x≤2时，重叠部分是△ADE，②如图3中，当2＜x≤$\frac{8}{3}$时，重叠部分是五边形MNEDG．③当$\frac{8}{3}$＜x＜4时，重叠部分是正方形DEFG，分别求解即可解决问题；
（3）如图5中，当2≤x＜4时，延长BO交AC于M．只要证明CM=AM即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，当点F在AB上时，易证AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$，

∴运动时间x=$\frac{AD}{1}$=$\frac{8}{3}$，
故答案为$\frac{8}{3}$．

（2）①如图2中，当0＜x≤2时，重叠部分是△ADE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠AED=45°，
∴AD=DE=x，
∴y=S_△ADE=$\frac{1}{2}$x²，
②如图3中，当2＜x≤$\frac{8}{3}$时，重叠部分是五边形MNEDG．

易知FG=GD=DE=DB=4-x，MG=AG=x-（4-x）=2x-4，
∴FM=FG-MG=（4-x）-（2x-4）=8-3x=FN，
∴y=S_{正方形DEFG}-S_△FMN=（4-x）²-$\frac{1}{2}$（8-3x）²=-$\frac{7}{2}$x²+16x-16，
③当$\frac{8}{3}$＜x＜4时，重叠部分是正方形DEFG，

y=（4-x）²=x²-8x+16．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤2）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+16x-16}&{（2＜x≤\frac{8}{3}）}\\{{x}^{2}-8x+16}&{（\frac{8}{3}＜x＜4）}\end{array}\right.$

（3）如图5中，当2≤x＜4时，延长BO交AC于M．

∵OE=OG，EG∥AC，
∴$\frac{OE}{CM}$=$\frac{BO}{BM}$=$\frac{OG}{AM}$，
∴CM=AM，
∴直线OB平分△ABC的面积．
∴当2≤x＜4时，直线OB平分△ABC的面积．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．