Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
（2）设二次函数y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）
①若二次函数y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象与x轴的两个交点的横坐标x₁，x₂满足$\left|{{x_1}-{x_2}}\right|=2\sqrt{3}$，求k的值；
②请在二次函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象上各找一个点M、N，且不论k为何值，这两个点始终关于x轴对称，求出点M、N的坐标（点M在点N的上方）．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式中的字母a，b，c，
（2）①先化简抛物线y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的解析式，再用根与系数的关系表示出x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=3-2k，最后用$\left|{{x_1}-{x_2}}\right|=2\sqrt{3}$建立方程求解即可．
②先设出点M的坐标，而点M，N关于x轴对称表示出点N的坐标，对称点的特点纵坐标互为相反数建立方程，得出（m+1）k=0，而不论k为何值，这两个点始终关于x轴对称，则有m+1=0，确定出m，最后得出点M，N的坐标．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{a+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴a的值为1，b的值为-2，c的值为3．
（2）①∵a=1，b=-2，c=3，
∴y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）=-x²+2（k+1）x+2k-3，
∵二次函数y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象与x轴的两个交点的横坐标x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=3-2k，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4（k+1）^{2}-4（3-2k）}$=2$\sqrt{3}$，
解得：k=1或k=-5；
②∵a=1，b=-2，c=3，
∴y=x²-2x+3和y=-x²+2（k+1）x+2k-3，
设M（m，m²-2m+3），
∵点M，N始终关于x轴对称，
∴N（m，-m²+2（k+1）m+2k-3）
m²-2m+3=-（-m²+2（k+1）m+2k-3），
∴（m+1）k=0
∵不论k为何值，点M，N始终关于x轴对称，
∴m+1=0，
∴m=-1，
∴M（-1，6），N（-1，6）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，对称点的特点，解本题的关键是会用一元二次方程根与系数的关系解决问题和无论k为何值，点M，N始终关于x轴对称，只有k的系数为零，常数为零，也是解本题的难点．