Question

8．等腰三角形ABC中，AB=CB，BO⊥AC，点P为射线BC上的动点（不与点B重合），在射线CA上截取CD=CB，作PF⊥BD，分别交射线BO，BD于点E，F．设∠ABC=α．
（1）令∠ABC=90°．
①如图1，当点P与点C重合时，求证：△BOD≌△POE；
②如图2，当点P在点C的左边时，求$\frac{BF}{PE}$的值；
③猜想：当点P在点C的右边时，$\frac{BF}{PE}$的值又是多少？
请直接写出．
（2）设点P在点C的右边，请在图3（∠ABC＞90°）或图4（∠ABC＜90°）中继续探究$\frac{BF}{PE}$的值（用含α的式子表示），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先证明OB=OC，∠BDO=∠CEO，根据AAS即可证明．
②如图2中，作PM⊥OB于M，交BD于N．只要证明△BMN≌△PME以及△PBN是等腰三角形即可解决问题．
③如图3中，当点P在点C的右边时，$\frac{BF}{PE}$的值为$\frac{1}{2}$．证明方法类似②．
（2）如图4中，结论$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$，只要证明△BMN∽△PME，得到$\frac{BN}{PE}$=$\frac{BM}{PM}$=tan∠BPM，由此即可解决问题．如图5中，结论$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$，证明方法类似．

解答 解：（1）①如图1中，

∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴OA=OC=OB，∠BOC=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∵∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠CEO=90°，
∴∠CEO=∠BDO，
在△BOD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠CEO}\\{∠BOD=∠EOD=90°}\\{BO=OC}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△COE，（即△BOD≌△POE）．

②如图2中，作PM⊥OB于M，交BD于N．

∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠C=45°，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠MPB=∠MBP=45°，
∴BM=PM，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
在△BMN和△PME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EPN}\\{∠NMB=∠PME}\\{MB=PM}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△PME，
∴BN=PE，
∵BF=FN，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$．

③如图3中，当点P在点C的右边时，$\frac{BF}{PE}$的值为$\frac{1}{2}$．

理由：作PM⊥OB于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=45°，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠MPB=∠MBP=45°，
∴BM=PM，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
在△BMN和△PME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EPN}\\{∠NMB=∠PME}\\{MB=PM}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△PME，
∴BN=PE，
∵BF=FN，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$．

（2）如图4中，$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$．

理由：作PM⊥BO于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
∴△BMN∽△PME，
∴$\frac{BN}{PE}$=$\frac{BM}{PM}$=tan∠BPM，
∴$\frac{2BF}{PE}=tan∠$BPM，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$．

如图5中，$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$．

理由：理由：作PM⊥BO于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
∴△BMN∽△PME，
∴$\frac{BN}{PE}$=$\frac{BM}{PM}$=tan∠BPM，
∴$\frac{2BF}{PE}=tan∠$BPM，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{tan\frac{180°-α}{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．