题目内容
19．
如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n-1）×（n-1）的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止．请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，当n=2时，所需的纸片张数为11张；
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2．
①当n=2时，求S1：S2的值；
②是否存在使得S1=S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据题意，可得应盖住正方形ABCD的对角线上的12个格．当是边长为2的纸片时，则需要1+（12-2）=11张纸片．
（2）①第一个面积为n2，第二个为一个包边，共有12-n个，每个由2n-1个小正方形构成，包边的总面积为（12-n）×（2n-1），由此得出S1=（12-n）×（2n-1）+n2；S2=144-（12-n）×（2n-1）-n2，代入计算得出答案即可；
②由①得出答案即可．
解答 解：（1）根据题意可得，应盖住正方形ABCD的对角线上的12个格．当是边长为2的纸片时，则需要1+（12-2）=11张纸片．
故答案为：11；
（2）第一个面积为n2，第二个为一个包边，共有12-n个，每个由2n-1个小正方形构成，包边的总面积为（12-n）×（2n-1）
∴①S1=10×3+4=34，S2=144-34=110．
∴S1：S2的值是34：110=17：55．
②根据题意，得S1=（12-n）×（2n-1）+n2；S2=144-（12-n）×（2n-1）-n2，
若S1=S2时，（12-n）×（2n-1）+n2=144-（12-n）×（2n-1）-n2，
整理得，则n=4或21．
∵2≤n≤11，
∴n=21舍去，
故n=4．
点评 本题考查图形的变化规律及整式的运算和解方程的能力，找出被纸片盖住的面积和未被盖住的面积，变化的规律是解决问题的关键．
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