现有一副直角三角板(角度分别为30°.60°.90°和45°.45°.90°)如图(1)放置.其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴.AC的中点过数轴的原点O.AC=8.斜边AB交数轴于点G.点G对应数轴上的数是4,另一块三角板的直角边AE交数轴于点F.斜边AD交数轴于点H．(1)如果△AGH的面积是10.△AHF的面积是8.则点F对应数轴上的数是-5.点H对应数轴上的数是-1,.设∠AHF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴的原点O，AC=8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．
（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应数轴上的数是-5，点H对应数轴上的数是-1；
（2）如图（2），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO=α，试用α来表示∠M的大小；
（3）如图（2），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，求∠N+∠M的值．

分析（1）由于∠OCB=90°，则OG=OA=4，再根据三角形面积公式可计算出GH=5，FH=4，所以OH=1，OF=5，所以点F对应的数轴上的数是-5，点H对应的数轴上的数是-1；
（2）由∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M得到∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，根据三角形外角性质得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，则2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，所以∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；
（3）根据（2）中证明方法，可得到∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，再根据∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，即可得到∠M+∠N=97.5°．

解答解：（1）如图1，∵AC的中点过数轴的原点O，AC=8，
∴AO=4，
∵△AGH的面积是10，
∴$\frac{1}{2}$×4×GH=10，
解得GH=5，
又∵∠AOG=90°，∠OAG=45°，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴点H对应的数轴上的数是-1，
∵△AHF的面积是8，
∴$\frac{1}{2}$FH•4=8，
解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴点F对应的数轴上的数是-5，
故答案为：-5，-1；

（2）如图2，∵∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，即2∠M=∠HAG，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$（α+45°）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；

（3）如图2，∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，
∴∠NFO=$\frac{1}{2}$∠EFO，∠NOF=$\frac{1}{2}$∠COF，
∴△FON中，∠N=180°-（∠NFO+∠NOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EFO+∠COF）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AFO+180°-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠AFO-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（180°-∠FAO）]
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠FAO）
=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO，
即∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH
=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH
=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，
又∵∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH+$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°=97.5°．