题目内容
12．（1）问题发现，如图1，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F与AC、BC分别交于点G，点H，则$\frac{AG}{CG}$=2．（2）类比探究；如图2，在矩形ABCD中，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{3}{4}$，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F，与AC、BC分别交于点G，点H，试探究$\frac{AG}{CG}$的值，并写出推理过程．
分析 （1）根据正方形性质证明△ADE≌△DCH，得CH=DE，设DE=x，根据AD∥CH得比例式得结论；
（2）设AD=3x，DC=4x，证明△ADE∽△DCH，表示出CH的长，利用AD∥BC列比例式代入求解．
解答 解：（1）如图1，设DE=x，则DC=2x，AD=2x，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵DC=AD，∠ADC=∠DCH=90°，
∴△ADE≌△DCH，
∴CH=DE=x，
∵AD∥CH，
∴△ADG∽△CHG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AD}{CH}$=$\frac{2x}{x}$=2，
故答案为：2；
（2）如图2，设AD=3x，DC=4x，则DE=2x，
∵∠HDC+∠ADH=90°，∠ADH+∠DAE=90°，
∴∠HDC=∠DAE，
∵∠ADC=∠DCB=90°，
∴△ADE∽△DCH，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{3x}{4x}=\frac{2x}{CH}$，
∴CH=$\frac{8x}{3}$，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CHG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AD}{CH}$=$\frac{3x}{\frac{8x}{3}}$=$\frac{9}{8}$．
点评 本题是四边形的综合题，难度不大，考查了正方形、矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，常用来判定三角形相似的方法有两种：①平行；②两角对应相等两三角形相似；要注意如果已知给出两边的比，如，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{3}{4}$，通常设AD为3x，DC为4x．
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