Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：由题意得：DF=DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=3；而AC=4，
由勾股定理得：AD²=AC²+CD²
∴AD=5，而FD=3，
∴FA=5-3=2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，
∴FH∥AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴$\frac{DF}{AD}=\frac{DH}{CD}=\frac{HF}{AC}$，
∴HF=$\frac{12}{5}$，DH=$\frac{9}{5}$，
∴BH=$\frac{24}{5}$，
∴BF=$\sqrt{B{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．