Question

17．如图，AB是⊙O的弦，OA=10，F是线段AB上的点，且FB=FO，OF的延长线交⊙O于点D，∠B=30°，则阴影部分的面积为（　　）

• A． 25π-$\frac{100\sqrt{3}}{3}$
• B． 25π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$
• C． 30π-$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
• D． 20π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出△OEF是等边三角形；在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOF即可得出结论．

解答 解：作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°，
∴△OEF是等边三角形；
∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°，
∴∠AOF=90°，
∵AO=10，
∴OF=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×10=$\frac{50\sqrt{3}}{3}$，S_扇形AOD=$\frac{90π}{360}$×10²=25π，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOF=25π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查的是垂径定理，涉及到等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形的面积等知识，难度适中．