Question

15．定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=$\frac{12}{5}$，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D₁的位置，CD₁=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．

解答 解：（1）如图1所示（画2个即可）．

（2）如图2，连接AC，BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴Rt△ADB≌Rt△ACB，
∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AB≠CD，
∴四边形ABCD是对等四边形．
（3）如图3，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D₁的位置，CD₁=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=11，
过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE=x，
∵tan∠PBC=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}x$，
在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
即${x}^{2}+（\frac{12}{5}x）^{2}=1{3}^{2}$，
解得：x₁=5，x₂=-5（舍去），
∴BE=5，AE=12，
∴CE=BC-BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，
在Rt△AFD₂中，$F{D}_{2}=\sqrt{A{{D}_{2}}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{1{1}^{2}-{6}^{2}}=\sqrt{85}$，
∴$C{D}_{2}=CF-F{D}_{2}=12-\sqrt{85}$，$C{D}_{3}=CF+F{D}_{2}=12+\sqrt{85}$，
综上所述，CD的长度为13、12-$\sqrt{85}$或12+$\sqrt{85}$．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．