Question

10．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．

解答 （1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC•AD=AB•AE；
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

点评 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．