Question

10．如图，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F，求证：BF=EF．

Answer 1

分析 因为AB=AE，所以要证明BF=EF，只要证明AF⊥BE即可，易证∠ACF=∠ABE，故B、C、A、F四点共圆，故∠BCA+∠BFA=180°即可证明．

解答 证明：∵AC=AD，AB=AE，
∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，
∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆，
∵∠BFA+∠BCA=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF．

点评 本题考查等腰三角形的性质、旋转不变性、四点共圆等知识，利用四点共圆证明90度角是解题的关键．