Question

15．如图，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AC⊥DE于点F，连AE，BD，点M、N分别是AE、BD的中点，连FM、FN．

（1）当α=90°，如图1，∠MFN=90°，$\frac{FM}{FN}$=1，并证明；
（2）当α=60°，如图2，∠MFN=60°，$\frac{FM}{FN}$=1，并证明．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形MHFN是菱形，利用△ECB≌△DCA得∠CAD=∠CBE，再利用“8字型”证明∠AOB=90°，根据平行线的性质可以证明∠MFN=90°即可．
（2）先证明四边形MHFN是菱形，利用△ECB≌△DCA得∠CAD=∠CBE，再利用“8字型”证明∠AOB=60°，根据平行线的性质可以证明∠MFN=60°即可．

解答 （1）解：如图1中，延长EC交AB于H，连接MH，HN，EB．
∵CE=CD，AF⊥DE，∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠DCF=45°，EF=FD，
∵∠ACB=90°，∠ECF=∠ACH=45°，AC=BC，
∴∠ACH=∠BCH，AH=HB，
∴EH⊥AB，
∴EA=EB，
∵DF=FE，DN=NB，
∴FN∥EB，FN=$\frac{1}{2}$EB，
∵EM=AM，
∴MH=MF=$\frac{1}{2}$AE，
又∵MF=$\frac{1}{2}$AD，HN=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF=HN=FN=MH，
∴四边形MHFN是菱形，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAJ+∠CJA=90°，∠CJA=∠OJB，
∴∠OJB+∠JBO=90°，
∴∠JOB=90°，
∵FN∥EB，MF∥AD，
∴∠JOB=∠OKN=∠MFN=90°，$\frac{FM}{FN}=1$，
故答案分别为90°，1．
（2）如图2中，
如图1中，延长EC交AB于H，连接MH，HN，EB．
∵AC=CB，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴△ACB，△ECD都是等边三角形，
∵CE=CD，AF⊥DE，∠ECD=60°，
∴∠ECF=∠DCF=30°，EF=FD，
∵∠ACB=60°，∠ECF=∠ACH=30°，AC=BC
∴∠ACH=∠BCH，AH=HB
∴EH⊥AB，
∴EA=EB，
∵DF=FE，DN=NB，
∴FN∥EB，FN=$\frac{1}{2}$EB，
∵EM=AM
∴MH=MF=$\frac{1}{2}$AE，
又∵MF=$\frac{1}{2}$AD，HN=$\frac{1}{2}$AD
∴MF=HN=FN=MH，
∴四边形MHFN是菱形，
∵∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAJ+∠CJA=180°-∠ACB=120°°，∠CJA=∠OJB，
∴∠OJB+∠JBO=120°，
∴∠JOB=60°，
∵FN∥EB，MF∥AD，
∴∠JOB=∠OKN=∠MFN=60°，$\frac{FM}{FN}=1$，
故答案分别为60°，1．

点评 本题考查等腰三角形的性质，、等边三角形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形再利用“8字型”证明90°或60°．