Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，垂足为E，CE的延长线与DB相交于点F．已知AB=8，CE=$\sqrt{15}$．
（1）求BC的长；
（2）若EF=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出△ABC∽△CBE，得出对应边成比例$\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BC}$，BC²=BE•AB，由勾股定理得：BC²=BE²+CE²，得出BE•AB=BE²+CE²，设BE=x，得出方程8x=x²+15，解方程求出BE=3，或BE=5，即可得出BC的长；
（2）延长CF交⊙O于M，连接BM，分两种情况，由垂径定理求出ME，由勾股定理求出BF，证明△CDF∽△BMF，得出对应边成比例，即可求出CD的长．

解答 解：（1）连接AC、BC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BC}$，
∴BC²=BE•AB，
由勾股定理得：BC²=BE²+CE²，
∴BE•AB=BE²+CE²，
设BE=x，
∵AB=8，CE=$\sqrt{15}$．
∴8x=x²+15，
解得：x=3，或x=5，
∴BE=3，或BE=5，
当BE=3时，BC²=8×3=24，
∴BC=2$\sqrt{6}$；
当BE=3时，BC²=8×5=40，
∴BC=2$\sqrt{10}$；
综上所述，BC的长为2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{10}$；
（2）延长CF交⊙O于M，连接BM，如图2所示：分两种情况，
①∵CE⊥AB，
∴EM=CE=$\sqrt{15}$，BM=BC=2$\sqrt{6}$，BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{5}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴MF=EM-EF=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∵∠D=∠M，∠DCF=∠MBF，
∴△CDF∽△BMF，
∴$\frac{CD}{BM}=\frac{CF}{MF}$，即$\frac{CD}{2\sqrt{6}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{3}}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}$，
解得：CD=2$\sqrt{15}$；
②同①得：$\frac{CD}{BM}=\frac{CF}{MF}$，即$\frac{CD}{2\sqrt{10}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{3}}{\frac{4\sqrt{15}}{3}}$，
解得：CD=2$\sqrt{10}$；
综上所述，CD的长为2$\sqrt{15}$或2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．