Question

19．如图，直线y=-x+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于P、Q（4，m）两点，与两坐标轴交于A、B两点，点（0.5，8）在双曲线上．
（1）直线AB、双曲线的解析式分别为y=-x+5、y=$\frac{4}{x}$；
（2）求△POQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点（0.5，8）以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，由此可得出双曲线的解析式，再根据点Q的横坐标即可得出点Q的坐标，利用一次函数图象上点的坐标即可求出b值，此题得解；
（2）联立直线AB与双曲线的解析式成方程组，解方程组求出点P的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵点（0.5，8）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴8=$\frac{k}{0.5}$，解得：k=4，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
∵点Q（4，m）在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，
∴m=$\frac{4}{4}$=1，
∴点Q的坐标为（4，1）．
将点Q（4，1）代入y=-x+b中，
得：1=-4+b，解得：b=5，
∴直线AB的解析式为y=-x+5．
故答案为：y=-x+5；y=$\frac{4}{x}$．
（2）联立直线AB与双曲线的解析式成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（1，4）．
当y=0时，有-x+5=0，解得：x=5，
∴点A的坐标为（5，0）．
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$OA•（y_P-y_Q）=$\frac{1}{2}$×5×（4-1）=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用一次（反比例）函数图象上点的坐标特征求出函数解析式是解题的关键．