Question

4．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，-2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l₁，过点M作x轴的垂线l₂，记l₁，l₂的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）若锐角∠APM的正切函数值为$\frac{4}{3}$．
①求点M的坐标；
②设点N在直线l₂上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线的性质以及勾股定理得出y与x的函数关系式；
（2）①利用P点在第三、四象限分别得出M点坐标；
②根据题意首先得出N点坐标再利用待定系数法求出一次函数解析式，联立函数解析式进而得出Q点坐标．

解答 解：（1）如图1，连接AP，作PB⊥y轴于B，由l₁垂直平分AM得：
PA=PM=-y；
在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM-OA=-2-y，
根据勾股定理得：（-2-y）²+x²=y²，
整理得：y=-$\frac{1}{4}$x²-1．

（2）①当点P在第四象限时，设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²-1）（x＞0）．
∵直线l₂垂直于x轴，
∴PM∥y轴．
∴∠APM=∠PAB，
∴tan∠PAB=tan∠PAB=$\frac{4}{3}$，即$\frac{BP}{AB}$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{x}{-2+\frac{1}{4}x2+1}$=$\frac{4}{3}$，
解得x₁=4，x₂=-1（不合题意，舍去）．
∴此时点M的坐标为（4，0）．
当点P在第三象限时，由对称性同理可得点M的坐标为（-4，0）．
综上可知，点M的坐标为（4，0）、（-4，0）．

②如图2，当点M为（4，0）时，点P的坐标为（4，-5）．
∵点N在直线l₂上且PN=1，
∴点N的坐标为N₁（4，-4）或N₂（4，-6），
当点N在点P上方即N₁（4，-4）时，连接AN₁交抛物线于点Q₁，

设直线AN₁的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（0，-2），N₁（4，-4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}4k+b=-4\\ b=-2.\end{array}$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故直线AN₁的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-2．
由-$\frac{1}{2}$x-2=-$\frac{1}{4}$x²-1得，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$（不合题意，舍去）．
∴把x=1+$\sqrt{5}$代入y=-$\frac{1}{2}$x-2得点Q₁的坐标为（1+$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
当点N在点P下方即N₂（4，-6）时，过点Q₂作Q₂D⊥x轴于D，
∵点Q₂在此抛物线上，
∴Q₂A=Q₂D．
∴当AQ，NQ之和最小时即为NQ+QD最小，故此时点N₂、Q₂、D三点在一条直线上，此时点Q₂与点P重合，即Q₂（4，-5）．
根据对称性，当点M为（-4，0）时，点P的坐标为（-4，-5）．
∵点N在直线l₂上且PN=1，
∴点N的坐标为N₃（-4，-4）或N₄（-4，-6），
当点N在点P₁上方即N₃（-4，-4）时，如图2，连接AN₃交抛物线于点Q₃，
设直线AN₃的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（0，-2），N₃（-4，-4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-4}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故直线AN₃的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2．
由$\frac{1}{2}$x-2=-$\frac{1}{4}$x²-1得，
解得：x₁=-1+$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），x₂=-1-$\sqrt{5}$
∴把x=-1-$\sqrt{5}$代入y=$\frac{1}{2}$x-2得点Q₃的坐标为（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
当点N在点P下方即N₄（4，-6）时，过点Q₄作Q₄D₁⊥x轴于D₁，
∵点Q₂在此抛物线上，
∴Q₄A=Q₄D₁．
∴当AQ，NQ之和最小时即为NQ+QD最小，故此时点N₄、Q₄、D₁三点在一条直线上，此时点Q₄与点P₁重合，即Q₄（-4，-5）．
故点Q₃（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₄（-4，-5），
综上所述：点Q的坐标为：Q₁（1+$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₂（4，-5），Q₃（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₄（-4，-5）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数以及二次函数解析式以及函数交点求法等知识，利用P点位置不同得出M点坐标，注意不要漏解是解题关键．