Question

5．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），点D是弧AC的中点，延长CD交经过点A的切线于点E，连接AD，当△ADE是等腰三角形时，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 连结BD，如图，利用圆周角定理得到∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得∠2+∠BAD=90°，则∠B=∠2，再利用圆周角定理得到∠1=∠B=∠C，易得∠3=∠1+∠C=2=2∠2，根据等腰三角的性质讨论：当DE=DA时，则DE=DA=DC，此时点C与B点重合，不合题意舍去；当AD=AD，则∠E=∠3=2∠2，利用三角形内角和可计算∠2=36°，然后利用∠BAC=90°-∠1-∠2进行计算即可．

解答 解：连结BD，如图，
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AE为切线，
∴AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，即∠2+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵点D是弧AC的中点，
∴∠1=∠B=∠C，
∴∠1=∠2=∠C，
∴∠3=∠1+∠C=2=2∠2，
∵△ADE是等腰三角形，
当DE=DA时，则DE=DA=DC，此时点C与B点重合，不合题意舍去；
当AD=AD，则∠E=∠3=2∠2，
而∠E+∠3+∠2=180°，
∴2∠2+2∠2+∠2=180°，解得∠2=36°，
∴∠BAC=90°-∠1-∠2=90°-36°-36°=18°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明∠1=∠2=∠C．