Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．

（1）依题意补全图1；
（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；
（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）．

Answer 1

分析 （1）由题意补全图形，如图1所示，
（2）先判断出△BCD≌△ACE，再判断出∠2=∠4，从而得到∠1+∠2=90°，即得到结论；
（3）先判断出当α=64°时GH的长度最大，然后计算出∠DBA=32°，∠GAB=58°再在表示出AH，BH用AH+BH=4建立方程求解即可．

解答 解：（1）补全图形，如图1所示．

（2）AE与BD的数量关系：AE=BD，
AE与BD的位置关系：AE⊥BD．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+α=∠DCE+α．
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，CD=BC，
∴△BCD≌△ACE．
∴AE=BD．
∴∠4=∠CBD．
∵∠CBD=∠2，
∴∠2=∠4．
∵∠3+∠4=90°，∠1=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
即AE⊥BD．
（3）如图2，

过点G作GH⊥AB于H．
由线段CD的运动可知，当α=64°时GH的长度最大．
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=$\frac{180°-90°-64°}{2}$=13°，
∴∠DBA=32°．
由（2）可知，∠AGB=90°，
∴∠GAB=58°，
在Rt△GAH中，tan∠GAB=tan58°=$\frac{GH}{AH}$，
∴AH=$\frac{GH}{tan58°}$，
在Rt△GBH中，tan∠DBA=tan32°=$\frac{GH}{BH}$，
∴BH=$\frac{GH}{tan32°}$，
∵AB=4，
∴AH+BH=4，
∴$\frac{GH}{tan58°}$+$\frac{GH}{tan32°}$=4，
∴GH=2（tan58°+tan32°）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，判断线垂直的方法，锐角三角函数，判断AE⊥BD，AE=BD是解本题的关键．