Question

19．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于B，C两点，其中B点坐标为（1，0），与y轴交于点A，A点坐标为（0，3）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点B到直线AC的距离．
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P使得以点P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用对称轴以及B点坐标得出C点坐标，再利用交点式得出抛物线解析式；
（2）利用勾股定理得出AC的长，再利用三角形面积求法得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当AP=AB时，②当AP=BP时，③当AB=BP时，分别求出答案．

解答 解：（1）由题意知，B，C关于对称轴x=2对称，B（1，0），
所以C（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
将A（0，3）代入得：
3a=3，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）如图1所示，

过B点作BD⊥AC交AC于D点
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△BCA=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AC•BD，
=$\frac{1}{2}$×2×3，
=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴点B到直线AC的距离为$\sqrt{2}$；

（3）存在，抛物线的对称轴是直线x=2，P点在直线x=2上，设P的坐标（2，y）
∴AP²=2²+（y-3）²=4+y²-6y+9=y²-6y+13，
BP²=（2-1）²+（y-0）²=1+y²，
AB²=1²+3²+1+9=10，
∵△PBA是等腰三角形，分三种情况讨论：
①如图2所示，

当AP=AB时，则AP²=AB²，
即y²-6y+13=10，
解得：y=3±$\sqrt{6}$，
∴P的坐标为（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）；
②如图3，

当AP=BP时，则AP²=BP²，即y²-6y+13=1+y²
解得：y=2，
∴P的坐标为（2，2）
③如图4，

当AB=BP时，则AB²=BP²，即10=1+y²
解得：y=±3，
∴P的坐标为（2，3）或（2，-3），
当P的坐标为（2，-3）时，A，B，P在同一直线上，不符合题意，舍去．
∴综上所述，符合题意的点P有4个：P₁（2，3+$\sqrt{6}$），P₂（2，3-$\sqrt{6}$），P₃（2，2），P₄（2，3）

点评 此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理、交点式、三角形面积求法等知识，正确分类讨论得出P点坐标是解题关键．