如图1.已知矩形纸片ABCD．按以下步骤进行操作:①沿对角线AC剪开,②固定△ADC.将△ABC以2cm/s的速度.沿射线CD的方向运动．设运动时间为ts.运动中△ABC的顶点A.B.C所对应的点分别记作A′.B′.C′.且当t=2时.B′与△ACD的顶点A重合．(1)请在图3中利用尺规补全当t=1时的图形(保留作图痕迹.不写作法),(友情提醒:请别忘� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，已知矩形纸片ABCD．按以下步骤进行操作：①沿对角线AC剪开（如图2）；②固定△ADC，将△ABC以2cm/s的速度，沿射线CD的方向运动．设运动时间为ts，运动中△ABC的顶点A、B、C所对应的点分别记作A′、B′、C′，且当t=2时，B′与△ACD的顶点A重合．
（1）请在图3中利用尺规补全当t=1时的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（友情提醒：请别忘了标注字母！）
（2）若在整个平移过程中，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积的最大值为3．
①试证明：当t=1时△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值；
②请直接写出当t=2时点，A′与点C之间的距离$\sqrt{73}$；
③试探究：当t为何值时，A′C与B′D恰好互相垂直？

分析（1）直接利用平移的性质分别得出对应点C′，B′的位置，进而得出A′的位置；
（2）①直接利用相似三角形的判定与性质得出△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积函数关系式，进而得出答案；
②根据已知首先求出AD的长，进而利用勾股定理得出答案；
③利用菱形的性质结合勾股定理得出答案．

解答解：（1）如图1所示：

（2）①如图1，设B′C′=b，由题意知，A′B′=AB=2×2=4，
∵DA∥B′C′，
∴△A′AE∽△A′B′C′，
∴$\frac{AE}{B′C′}$=$\frac{AA′}{A′B′}$，
$\frac{AE}{b}$=$\frac{2t}{4}$，
∴AE=$\frac{bt}{2}$，
∴△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积，
S=$\frac{bt}{2}$（4-2t）=-b（t-1）²+b，
∴当t=1时，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值；

②如图1，∵△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积的最大值为3，
∴b=3，
∵当t=1时，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值，
∴AE×AB′=3，
∵AE=AA′=AB′=2，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=3，
如图2，连接A′C，
∴A′C=$\sqrt{A′{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$；
故答案为：$\sqrt{73}$；

③由题意知，A′B′∥CD，A′B′=CD，
∴四边形A′B′CD是菱形，
连接A′D，在Rt△A′AD中，AA′=2t，A′D=A′B′=4，AD=3，
由勾股定理得（2t）²+3²=4²，
∴t=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴当t=$\frac{\sqrt{7}}{2}$时，A′C和B′D恰好互相垂直．