Question

5．设△ABC是锐角三角形，∠A，∠B所对的边长分别为a、b，其边上的高分别为m，n，∠ACB=θ．
（1）用θ和b的关系式表示m；
（2）若a＞b，试比较a+m与b+n的大小；
（3）如图，在△ABC中作一个面积最大的正方形，假设a＞b，问正方形的一边在三角形的哪条边上的正方形面积最大？试写出求解过程．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）根据（1）的结论得到n=asinθ，代入得到（a-b）（1-sinθ），根据不等式的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质得到HK=$\frac{am}{a+m}$，同理H′G′=$\frac{bn}{b+n}$，设△ABC的面积我S，于是得到HK=$\frac{am}{a+m}$=$\frac{S}{2（a+m）}$＜$\frac{S}{2（b+n）}$=$\frac{bn}{b+n}$=H′G′，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠B所对的边长分别为b，∠A边上的高分别为m，
∴∠sinθ=$\frac{m}{b}$，
∴m=bsinθ；

（2）同（1）的结论可得n=asinθ，则（a+m）-（b+n）=（a-b）（1-sinθ），
∵a＞b，sinθ＜1，
∴（a-b）（1-sinθ）＞0，
∴a+m＞b+n；

（3）∵HK∥BC，
∴△AHK∽△ABC，
∴$\frac{HK}{BC}=\frac{AI}{AD}$，
∵BC=a，AD=m，
∴HK=$\frac{am}{a+m}$，同理H′G′=$\frac{bn}{b+n}$，
设△ABC的面积为S，∴HK=$\frac{am}{a+m}$=$\frac{S}{2（a+m）}$＜$\frac{S}{2（b+n）}$=$\frac{bn}{b+n}$=H′G′，
∴正方形的边在AC上时面积最大．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．