Question

10．如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定λ_A=$\frac{DE}{BE}$，特别地，当点D与E重合时，规定λ_A=0．对λ_B、λ_C作类似的规定．给出下列结论：
①若∠C=90°，∠A=30°，则λ_A=1，λ_C=$\frac{1}{2}$．
②若λ_A=1，则△ABC为直角三角形．
③若λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形；若λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形．
④若λ_A=λ_B=λ_C=0，则△ABC为等边三角形．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据规定λ_A的定义，以及有一个角是30°的直角三角形的性质即可解决；
②根据规定λ_A的定义可得DE=BE，据此即可判断；
③根据λ_A的定义，判断D和E的位置即可判断；
④λ_A=0，则D与E重合，则AD所在直线是BC的垂直平分线，则AB=AC，据此即可判断．

解答 解：①在图1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
E是BC的中点，BC边上的高与AC重合，
则λ_A=$\frac{EC}{BE}$=1；
当F是AB的中点时，BC=$\frac{1}{2}$AB=BF，∠B=60°，
则△BCF是等边三角形，
则DF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AF，则λ_C=$\frac{1}{2}$，故①正确；
②若λ_A=1，则DE=BE，次时D和C重合，则△ABC为直角三角形，故②正确；
③当λ_A＞1时，DE＞BE=EC，则E在BD的延长线上，此时△ABC是钝角三角形；
当λ_A＜1时，若λ_B＞1时△ABC为钝角三角形，故③错误；
④λ_A=0，则当点D与E重合时，则AB=AC，
同理，λ_B=λ_C=0，则BC=AC，AB=BC，
∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形．故④正确．
故选C．

点评 本题考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，正确理解规定是解决本题的关键．