题目内容
15．如图1所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由；
（3）如图2所示，过点G作MN∥DE交AD于点M，交BE于点NM连接BM，设CG的长为x，正方形ABCD的边长为a（a＞0），△BMN的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
分析 （1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．
（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形．
（3）延长BG交DE于点O，结合已知条件可以判定四边形MNED为平行四边形，结合平行四边形的性质和已知条件推知∠DOB=90°，则BG⊥MN，所以根据三角形的面积公式进行解答即可．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
∵在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
（3）如图，延长BG交DE于点O，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥BE，则MD∥NE，
又∵MN∥DE，
∴四边形MNED为平行四边形，MN=DE．
又由（1）知，△BCG≌△DCE，则∠CDE=∠CBG，BG=DE，
∴BG=DE=MN．
∵∠CGB+∠BGC=90°，∠BGC=∠DGO，
∴∠CDE+∠DGO=90°，
∴∠DOB=90°，即BO⊥DE，
∴BG⊥MN，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•MN=$\frac{1}{2}$BG2=$\frac{1}{2}$（a2+x2）（0＜x＜a）．
点评 本题考查了四边形综合题，其中涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识，解答（3）时，注意辅助线的作法，利用平行线的性质证得BG是△BMN的高线是解题的难点．
捷径训练检测卷系列答案
小夫子全能检测系列答案| A． | 直线x=1 | B． | 直线x=-1 | C． | 直线x=-3 | D． | 直线x=3 |
如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（ ）| A． | 2cm、2cm、2cm | B． | 3cm、3cm、3cm | C． | 4cm、4cm、4cm | D． | 2cm、3cm、5cm |
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE=45°，试猜想BD．DE．EC应满足的数量关系，并写出推理过程．
如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定λA=$\frac{DE}{BE}$，特别地，当点D与E重合时，规定λA=0．对λB、λC作类似的规定．给出下列结论：
利用一面墙（墙EF最长可利用25米），用砌37米长的墙的材料围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．设边AB的长是x米，矩形花园ABCD的面积是y平方米．