Question

5．如图，已知矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，动点G从点A从发沿AB方向以2m/s的速度向点B匀速运动；同时，动点E从点B出发沿BC方向以1m/s的速度向点C匀速运动，连接DE并延长交AB的延长线于点F，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）t为何值时，GE∥AC？
（2）t为何值时，E在GF的中垂线上？

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形△BGE∽△BAC的对应边成比例进行解答；
（2）当E在GF的中垂线上时，BG=BF，据此来求t的值．

解答 解：（1）当GE∥AC时，△BGE∽△BAC，则$\frac{BG}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{t}{6}$，
解得 t=$\frac{12}{5}$．
即当t=$\frac{12}{5}$时，GE∥AC；

（2）如图，∵四边形ABCD是矩形，点F在AB的延长线上，
∴CD∥AF，
∴△CDE∽△BFE，
∴$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，即$\frac{8}{BF}$=$\frac{6-t}{t}$，则BF=$\frac{8t}{6-t}$，①
又∵E在GF的中垂线上，
∴BG=BF，即8-2t=BF，②
由①②得到：8-2t=$\frac{8t}{6-t}$，
解得t₁=2，t₂=12，
∵0＜t＜4，
∴t₂=12，舍去．
即t=2时，E在GF的中垂线上．

点评 本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了矩形的性质、相似三角形的判定与性质的综合运用．解答（2）题时，同时要注意t的取值范围，从而对t不同值的取舍作出正确的判断．