Question

9．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标为（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$）．
①设A（1，2），B（5，0），点M为线段AB的中点，则点M的坐标为（3，1）．
②设线段CD的中点为点N，其坐标为（3，2），若端点C的坐标为（7，3），则端点D的坐标为（-1，-1）．
（2）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF．（S表示面积）

问题探究：如图2，在已知锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直MN，分别交射线OA，OB于点M、N将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
结论应用：如图3，在平面直角坐标系xoy中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且OA=3、AB=4、OB=5，若点P的坐标为（2，1），过点P的直线l分别交OB、AB于点M、N，求三角形BMN面积的最小值．

Answer 1

分析 预备知识：（1）根据线段的中点坐标公式即可得到结论；
（2）根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出结论；
问题探究：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
结论应用：如图3，由问题探究当点P是MN的中点时S_△MBN最小，根据勾股定理的逆定理得到∠OAB=90°，求得AB⊥x轴，得到N点的横坐标为3，设M（a，b），根据线段的中点坐标公式得到a=1，过M作MC⊥OA于C，根据相似三角形的性质得到CM=$\frac{4}{3}$，得到AN=$\frac{2}{3}$，于是得到结论．

解答 解：预备知识：（1）①∵A（1，2），B（5，0），点M为线段AB的中点，
∴M（$\frac{1+5}{2}$，$\frac{2+0}{2}$），即M（3，1），
故答案为：（3，1）；
②设D（x，y），
由中点坐标公式得：$\frac{7+x}{2}$=3，$\frac{3+y}{2}$=2，
∴x=-1，y=-1，
∴D（-1，-1）；
故答案为：（-1，-1）；

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_△ADE=S_{四边形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；

问题探究：
当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，
如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由预备知识（2）可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；

结论应用：如图3，由问题探究当点P是MN的中点时S_△MBN最小，
∵OA=3、AB=4、OB=5，
∴OA²+AB²=OB²，
∴∠OAB=90°，
∴AB⊥x轴，
∴N点的横坐标为3，
设M（a，b），
∵点P的坐标为（2，1），
∴$\frac{a+3}{2}$=2，
∴a=1，
过M作MC⊥OA于C，
∴OC=1，
∴MC∥AB，
∴△OCM∽△OAB，
∴$\frac{CM}{AB}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{CM}{4}=\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{CM+AN}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{3}$，
∴S_△MBN=S_{四边形ABMC}-S_{四边形ANMC}=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{3}$+4）×（3-1）-$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$）×（3-1）=$\frac{10}{3}$，
∴三角形BMN面积的最小值是$\frac{10}{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的逆定理的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立数学模型解答是关键．