Question

19．如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E．求证：
（1）四边形AMEN是菱形；
（2）四边形EFCG是菱形．

Answer 1

分析 （1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM=DN，可得AM=AN，即可证得四边形AMEN是菱形；
（2）先证明四边形EFCG是平行四边形，再证出CF=CG，即可得出四边形EFCG是菱形．

解答 证明：（1）∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵BM=DN，
∴AB-BM=AD-DN，
∴AM=AN，
∴四边形AMEN是菱形；
（2）同（1）得：四边形BCGM、四边形CDNF是平行四边形，
∴MG∥BC，NF∥CD，BM=CG，DN=CF，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∵BM=DN，
∴CF=CG，
∴四边形EFCG是菱形．

点评 此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定．证得四边形AMEN是菱形与四边形EFCG是菱形是关键．