阅读材料:在直角三角形中有这样一个性质:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知:在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AD是斜边BC的中线.求证:BC=2AD．证明:延长AD到E.使DE=AD.连接CE.∵AD是斜边BC的中线∴BD=CD∵∠ADB=∠EDC.AD=DE∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE.∠B=∠DCE∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE=180°∵� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．阅读材料：在直角三角形中有这样一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：BC=2AD．
证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵AD是斜边BC的中线∴BD=CD
∵∠ADB=∠EDC，AD=DE
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴AB=CE，∠B=∠DCE
∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE=180°
∵∠BAC=90°∴∠ACE=90°
∵AB=CE，∠BAC=∠ECA=90°，AC=CA
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=EA
∵AE=2AD
∴BC=2AD．
可以在你的证明中直接使用上面的性质解决下面的问题：
问题：以△ABC的边AB、AC为直角边向外作以A为直角顶点的等腰直角△ABE和△ACD，M为BC的中点，
（1）当∠BAC=90°时，如图1，写出线段DE与AM之间的数量关系DE=2AM，并给出证明；
（2）当∠BAC＞90°时，如图2，写出线段DE与AM之间的数量关系DE=2AM，并给出证明．

分析（1）由于△ABE、△ACD都是等腰直角三角形，可证得Rt△ABC≌Rt△AED，则BC=DE，而AM是斜边BC上的中线，即可得到ED=BC=2AM；
（2）延长BA到F，使得BA=AF，连接FC，易知AM是△BCF的中位线，即CF=2AM，因此只需证得ED=CF即可．由于∠EAF、∠CAD都是直角，减去同一个角∠DAF后，得到∠EAD=∠CAF，而AF=AE、CA=AD，由此可得△ADE≌△ACF，由此得证．

解答解：（1）DE=2AM，
理由：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAD=∠BAC=∠EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，
∴∠BAC=90°，∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC与△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE=BC；
而AM是Rt△ABC斜边上的中线，则DE=BC=2AM．
故答案为：DE=2AM；
（2）DE=2AM；
理由如下：
延长BA至F，使得BA=AF；
则AM是△BCF的中位线，CF=2AM．
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠FAC=90°-∠DAF，
又∵AE=AF=AB，AD=AC，
在△AED与△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAD=∠FAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFC，
∴DE=CF，
故DE=2AM．
故答案为：DE=2AM；

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