Question

3．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α．
（1）当α=60°，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA．
（2）若0°＜α＜90°，如图②，求∠BGC．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△BCD≌△ACE，得出对应角相等∠CBD=∠CAE，由三角形的外角性质证出∠BCA=∠BGA，即可得出结果；
（2）证出∠BCD=∠ACE，由SAS证明△BCD≌△ACE，得出∠CBD=∠CAE，证出A、B、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BGC=∠BAC，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 解：（1）在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{∠CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠CDG=∠CBD+∠BCD=∠CAE+∠BGA，
∴∠BCA=∠BGA，
∴∠BGA=60°；
（2）∵∠BCA=∠DCE，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{∠CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∴A、B、C、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BAC，
∵∠BCA=α，BC=AC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠BGC=∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．