题目内容
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，与x轴、y轴分别交于点B、D．直线AC与x轴、y轴分别交于点C、E，$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$．（1）若OG⊥CE于G，求OG的长度；
（2）求四边形ABOE的面积；
（3）已知点F（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O、Q、P为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）求出直线CE解析式，得到线段OE、OC、CE长度，利用面积法求出线段OG．
（2）利用分割法，将四边形分割成一个三角形和一个梯形，求出面积即可．
（3）通过观察可以发现Q点与点G重合，通过直线求出点P坐标即可．
解答 解：（1）∵$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$，
设OE=5x，OC=12x，
∴（5x）2+（12x）2=（$\frac{169}{12}$）2，
解得x=$\frac{13}{12}$，
∴OE=$\frac{65}{12}$，OC=$\frac{156}{12}$，
∵OG⊥CE于G，
$\frac{1}{2}$×$\frac{65}{12}$×$\frac{156}{12}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{169}{12}$×OG，
解得：OG=$\frac{60}{12}$=5．
∴OG的长度为5．
（2）∵$\frac{OE}{OC}$=$\frac{5}{12}$，
设直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+b，
∵OE=$\frac{65}{12}$，
∴直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
联系方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}}\\{y=-\frac{5}{12}x+\frac{65}{12}}\end{array}\right.$，
解得：x=-$\frac{35}{21}$，y=$\frac{55}{9}$，
∴A（-$\frac{35}{21}$，$\frac{55}{9}$）．
如图，过点A做AH⊥x轴，
∵直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，与x轴、y轴分别交于点B、D，
∴B（-$\frac{25}{4}$，0），
∴S四边形ABOE=S△ABH+S梯形ABOE
=$\frac{1}{2}$（$\frac{25}{4}$-$\frac{35}{21}$）×$\frac{55}{9}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{55}{9}$+$\frac{65}{12}$）×$\frac{35}{21}$
=$\frac{118}{5}$．
答：四边形ABOE的面积为$\frac{118}{5}$．
（3）存在．
当点Q在AC上时，OG=OF=5，
∵点Q即为点G，
∴△OPQ≌△OPG，
∵F（5，0），直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
∴P（5，$\frac{10}{3}$）．
作OQ⊥AB，Q为垂足，连接QF，作QF的垂直平分线交AC于P．
此时△OPQ≌△OPF，解得P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．
综上所述，P（5，$\frac{10}{3}$）或P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．
点评 题目考查了一次函数综合应用，同时题目对面积求解、全等三角形进行考查，题目运算较难，需要注意运算的正确性．
高中必刷题系列答案
如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，O为圆心，AD=10cm，sinB=$\frac{4}{5}$，则AC的长8．
如图，在平面直角坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=$\frac{4}{5}$．
在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示，则化简|a+b|-|a-b|的结果为（ ）| A． | 2a | B． | 2b | C． | 2a-2b | D． | -2b |