Question

14．定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；
（2）求线段PA的长．

Answer 1

分析 （1）首先正确理解准外心的定义，然后画图：①点P到A、C两点距离相等；②P到B、C两点距离相等．
（2）首先利用勾股定理计算出AC长，然后再分三种情况：①PB=BC；②PA=PC；③PA=PB进行计算．

解答 解：（1）如图所示；

（2）∵BC=5，AB=3，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
①若PB=BC，设PA=x，则x²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
即PA=$\frac{7}{8}$，
②若PA=PC，则PA=2；
③若PA=PB，由图知，在△PAB中，不可能，
综上PA=2或$\frac{7}{8}$．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及勾股定理的应用，关键是正确理解题意，然后再分类讨论．