Question

9．若x是不等于1的实数，我们把$\frac{1}{1-x}$称为x的差倒数，如2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数为$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．现已知x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂的差倒数，x₄是x₃的差倒数，…，依此类推，则x₂₀₁₆的值为4．

Answer 1

分析 根据差倒数的定义找出该组数列的前4个数，由x₄=x₁，从而得出数据变化规律，根据规律可得出x₂₀₁₆的值．

解答 解：根据差倒数的定义可得出：
${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，x₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，x₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，…
由此发现该组数每3个一循环．
∵2016÷3=672，
∴x₂₀₁₆=x₃=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数字的变化以及求倒数，解题的关键是发现“该组数每3个一循环”这个规律．本题属于基础题，难度不大，根据差倒数的定义式列出前4个数据即可找出规律得以解决．