题目内容
19．
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据轴对称和角平分线的性质以及勾股定理可以求出OC的长度，从而求出点C的坐标．再根据直线的解析式求出A、B的坐标，最后利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式可以转化为顶点式而求出顶点坐标D，利用B、C的坐标求出BC的解析式，假设在直线BC上存在满足条件的点P，利用平行四边形的性质和三角形全等的性质求出点P的坐标，得到点P不在直线BC上，而得出结论．
（3）平移后根据（1）的解析式可以得到平移后的解析式，顶点坐标及对称轴，可以求出与坐标轴的交点F、N、E的坐标，连接EF，根据E、F的坐标求出其解析式，求出EF与对称轴的交点，就是Q点．
解答 
解：（1）连接CH，
由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
AC2=CH2+AH2
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
设C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8-a，在Rt△AHC中，
由勾股定理，得
（8-a）2=a2+42解得
a=3
C（3，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{6=c}\\{0=64a+8b+c}\\{0=9a+3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{11}{4}}\\{c=6}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x2$-\frac{11}{4}x$+6，
∴y=$\frac{1}{4}$${（x-\frac{11}{2}）}^{2}$$-\frac{25}{16}$；
（2）由（1）的结论，得
D（$\frac{11}{2}$，-$\frac{25}{16}$）
∴DF=$\frac{25}{16}$，
设BC的解析式为：y=kx+b，则有
$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=-2}\end{array}\right.$
直线BC的解析式为：y=-2x+6
设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=$\frac{25}{16}$，
∴$\frac{25}{16}$=-2x+6
∴$x=\frac{71}{32}$
P（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{16}$）
当x=$\frac{5}{2}$时，
y=-2×$\frac{5}{2}$+6=1≠$\frac{25}{16}$
∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P；
（3）由题意得，平移后的解析式为：
y=$\frac{1}{4}$（x-2）2$-\frac{25}{16}$
∴对称轴为：x=2，
当x=0时，y=-$\frac{9}{16}$
当y=0时，0=$\frac{1}{4}$（x-2）2$-\frac{25}{16}$
解得：x1=$-\frac{1}{2}$；x2=$\frac{9}{2}$
∵F在N的左边
F（$-\frac{1}{2}$，0），E（0，-$\frac{9}{16}$），N（$\frac{9}{2}$，0）
连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}k+b}\\{b=-\frac{9}{16}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{8}}\\{b=-\frac{9}{16}}\end{array}\right.$
∴EF的解析式为：y=-$\frac{9}{8}$x-$\frac{9}{16}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{9}{8}x-\frac{9}{16}}\\{x=2}\end{array}\right.$
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\frac{45}{16}}\end{array}\right.$
∴Q（2，-$\frac{45}{16}$）．
点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了轴对称的性质，勾股定理的运用，待定系数法求函数的解析式的方法，图象的平移，平行四边形的判定及性质以及最值的确定等多个知识点，综合运用二次函数的性质及平行四边形的性质，求出各点坐标是解答此题的关键．
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百分学生作业本题练王系列答案| A． | 两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 | |
| B． | 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 | |
| C． | 两条对角线相等的四边形是矩形 | |
| D． | 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 |
如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）| A． | x=2 | B． | x=-2 | C． | x=1 | D． | x=-1 |
如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点O处，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 3$\sqrt{3}$ | D． | 6 |
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形形成一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条线段就是（ ）