Question

12．已知x₁³+x₂³+…+x₈³-x₉³的个位数字是1，其中，x₁，x₂，…，x₉是2001，2002，2009中的九个不同的数，且8x₉＞x₁+x₂+…+x₈，则x₉=2008．

Answer 1

分析 首先求得这九个数字的立方的位数和，然后将原式变形为（${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$）-2${x}_{9}^{3}$，从而求得${x}_{9}^{3}$的个位数字是7或2，故此可知${x}_{9}^{3}$是2003或2008，然后再根据所给的不等式即可确定出x₉的值．

解答 解：${x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{8}^{3}$=（${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$）-$2{x}_{9}^{3}$，
∵2001³、2002³、…2009³的个位数字一次是1、8、7、4、5、6、3、2、9，
∴${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$的个位数字一定是5．
又∵（${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$）-$2{x}_{9}^{3}$的个位数字是1，
∴${x}_{9}^{3}$的个位数字是7或2，从而${x}_{9}^{3}$是2003或2008．
∵8x₉＞x₁+x₂+…+x₈，
∴9x₉＞${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$．
∴9x₉＞2005×9．
∴x₉＞2005．
∴x₉=2008．
故答案为：2008．

点评 本题主要考查的是数字的尾数特征，将原式变形为（${{x}_{1}}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}+…+{x}_{9}^{3}$）-$2{x}_{9}^{3}$，然后根据尾数特点确定出x₉的值是解题的关键．